Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы

IX. Эллиптические функции

750. Обозначим $u=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2{x}^2}}=F\left(\phi ,k\right)$,

$k^2<1$, $x=sin\phi$ (эллиптический интеграл первого рода).

См. 770.

751.1. $\phi$ называется амплитудой, $k$ — модулем.

751.2. $\phi =amu$.

751.3. $sin\phi =snu=x$.

751.4. $cos\phi =cnu=\sqrt{1-x^2}$.

751.5. $\Delta \phi$ или $\Delta \phi \left(\phi ,k\right)=\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }=dnu=\sqrt{1-k^2{x}^2}$.

751.6. $tg\phi =tnu=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

751.7. Дополнительный модуль $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$.

752. $u={am}^{\mathrm{-1}}\left(\phi ,k\right)={sn}^{\mathrm{-1}}\left(x,k\right)={cn}^{\mathrm{-1}}\left\{\sqrt{1-x^2},k\right\}={dn}^{\mathrm{-1}}\left\{\sqrt{1-k^2{x}^2},k\right\}={tn}^{\mathrm{-1}}\left[\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},k\right]$.

^* Здесь показатель степени $\mathrm{-1}$ применяется в смысле обратной функции.

753.1. $am\left(-u\right)=-amu$.

753.2. $sn\left(-u\right)=-snu$.

753.3. $cn\left(-u\right)=cnu$.

753.4. $dn\left(-u\right)=dnu$.

753.5. $tn\left(-u\right)=-tnu$.

754.1. $am0=0$.

754.2. $sn0=0$.

754.3. $cn0=1$.

754.4. $dn0=1$.

755.1. ${sn}^{2}u+{cn}^{2}u=1$.

755.2. ${dn}^{2}u+k^2{sn}^{2}u=1$.

755.3. ${dn}^{2}u-k^2{cn}^{2}u={k^{\prime }}^2$.

756.1. $sn\left(u\pm v\right)=\frac{snucnvdnv\pm cnusnvdnu}{1-k^2{sn}^{2}u{sn}^{2}v}$.

756.2. $cn\left(u\pm v\right)=\frac{cnucnv\mp snusnvdnudnv}{1-k^2{sn}^{2}u{sn}^{2}v}$.

756.3. $dn\left(u\pm v\right)=\frac{dnudnv\mp k^{2}snusnvcnucnv}{1-k^2{sn}^{2}u{sn}^{2}v}$.

756.4. $tn\left(u\pm v\right)=\frac{tnudnv\pm tnvdnu}{1\mp tnutnvdnudnv}$.

757.1. $sn2u=\frac{2snucnudnu}{1-k^2{sn}^{4}u}$.

757.2. $cn2u=\frac{{cn}^{2}u-{sn}^{2}u{dn}^{2}u}{1-k^2{sn}^{4}u}=\frac{2{cn}^{2}u}{1-k^2{sn}^{4}u}-1$.

757.3. $dn2u=\frac{{dn}^{2}u-k^2{sn}^{2}u{cn}^{2}u}{1-k^2{sn}^{4}u}=\frac{2{dn}^{2}u}{1-k^2{sn}^{4}u}-1$.

757.4. $tn2u=\frac{2tnudnu}{1-{tn}^{2}u{dn}^{2}u}$.

758.1. $sn\frac{u}{2}=\sqrt{\frac{1-cnu}{1+dnu}}$.

758.2. $cn\frac{u}{2}=\sqrt{\frac{cnu+dnu}{1+dnu}}$.

758.3. $dn\frac{u}{2}=\sqrt{\frac{cnu+dnu}{1+cnu}}$.

759.1. $sn\left(\mathrm{i}u,k\right)=\mathrm{i}tn\left(u,k^{\prime }\right)$.

759.2. $cn\left(\mathrm{i}u,k\right)=\frac{1}{cn\left(u,k^{\prime }\right)}$.

759.3. $dn\left(\mathrm{i}u,k\right)=\frac{dn\left(u,k^{\prime }\right)}{cn\left(u,k^{\prime }\right)}$.

760.1. $snu=u-\left(1+k^2\right)\frac{u^3}{3!}+\left(1+14k^2+k^4\right)\frac{u^5}{5!}-\left(1+135k^2+135k^4+k^6\right)\frac{u^7}{7!}+\dots$

760.2. $сnu=1-\frac{u^2}{2!}+\left(1+4k^2\right)\frac{u^4}{4!}-\left(1+44k^2+16k^4\right)\frac{u^6}{6!}+\left(1+408k^2+912k^4+64k^6\right)\frac{u^8}{8!}-\dots$

760.3. $dnu=1-k^2\frac{u^2}{2!}+\left(4+k^2\right)k^2\frac{u^4}{4!}-\left(16+44k^2+k^4\right)k^2\frac{u^6}{6!}+\left(64+912k^2+408k^4+k^6\right)k^2\frac{u^8}{8!}-\dots$

760.4. $amu=u-k^2\frac{u^3}{3!}+\left(4+k^2\right)k^2\frac{u^5}{5!}-\left(16+44k^2+k^4\right)k^2\frac{u^7}{7!}+\left(64+912k^2+408k^4+k^6\right)k^2\frac{u^9}{9!}-\dots$

Эллиптические функции — производные

768.1. $\frac{d}{du}snu=cnudnu$.

768.2. $\frac{d}{du}cnu=-snudnu$.

768.3. $\frac{d}{du}dnu=-k^{2}snucnu$.

Эллиптические функции — интегралы

770. Эллиптический интеграл первого рода

$F\left(\phi ,k\right)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2{x}^2}}$,

$k^2<1$, $x=sin\phi$.

См. 750.

771. Эллиптический интеграл второго рода

$E\left(\phi ,k\right)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }d\phi =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{x}^2}}{\sqrt{1-x^2}}dx$,

$x=sin\phi$.

772. Эллиптический интеграл третьего рода

$\Pi \left(\phi ,n,k\right)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\left(1+n{sin}^2\phi \right)\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\left(1+n{x}^2\right)\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2{x}^2}}$,

$x=sin\phi$.

$n$ называется параметром.

Полные эллиптические интегралы

773.1. $K=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }⁄2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(1+\frac{1^2}{2^2}{k}^2+\frac{1^2\cdot 3^2}{2^2\cdot 4^2}{k}^4+\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}{k}^6+\dots \right)$,

$k^2<1$.

773.2. $K=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(1+m\right)\left[1+\frac{1^2}{2^2}{m}^2+\frac{1^2\cdot 3^2}{2^2\cdot 4^2}{m}^4+\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}{m}^6+\dots \right]$,

где $m=\frac{1-k^{\prime }}{1+k^{\prime }}$.

Этот ряд сходится быстрее, чем 773.1, поскольку $m^2<k^2$.

773.3. $K=ln\frac{4}{k^{\prime }}+\frac{1^2}{2^2}\left(ln\frac{4}{k^{\prime }}-\frac{2}{1\cdot 2}\right){k^{\prime }}^2+\frac{1^2\cdot 3^2}{2^2\cdot 4^2}\left(ln\frac{4}{k^{\prime }}-\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{2}{3\cdot 4}\right){k^{\prime }}^4+\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}\left(ln\frac{4}{k^{\prime }}-\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{2}{3\cdot 4}-\frac{2}{5\cdot 6}\right){k^{\prime }}^6+\dots$,

где $k^{\prime }=\sqrt{1-k^2}$.

774.1. $E=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }⁄2}{\int }}\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }d\phi =\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(1-\frac{1}{2^2}{k}^2-\frac{1^2\cdot 3}{2^2\cdot 4^2}{k}^4-\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}{k}^6-\dots \right)$,

$k^2<1$.

774.2. $E=\frac{\mathrm{\pi }}{2\left(1+m\right)}\left(1+m\right)\left[1+\frac{1^2}{2^2}{m}^2+\frac{1^2\cdot 3^2}{2^2\cdot 4^2}{m}^4+\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}{m}^6+\dots \right]$,

где $m=\frac{1-k^{\prime }}{1+k^{\prime }}$.

Этот ряд сходится быстрее, чем 774.1, поскольку $m^2<k^2$.

774.3. $E=1+\frac{1}{2}\left(ln\frac{4}{k^{\prime }}-\frac{1}{1\cdot 2}\right){k^{\prime }}^2+\frac{1^2\cdot 3}{2^2\cdot 4}\left(ln\frac{4}{k^{\prime }}-\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{1}{3\cdot 4}\right){k^{\prime }}^4+\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5}{2^2\cdot 4^2\cdot 6}\left(ln\frac{4}{k^{\prime }}-\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{2}{3\cdot 4}-\frac{1}{5\cdot 6}\right){k^{\prime }}^6+\dots$

775. $F\left(\phi ,k\right)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\frac{2\phi }{\mathrm{\pi }}K-sin\phi cos\phi \left(\frac{1}{2}{A}_2{k}^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}{A}_4{k}^4+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}{A}_6{k}^6+\dots \right)$,

где
$A_2=\frac{1}{2}$,
$A_4=\frac{3}{2\cdot 4}+\frac{1}{4}{sin}^2\phi$,
$A_6=\frac{3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{5}{4\cdot 6}{sin}^2\phi +\frac{1}{6}{sin}^4\phi$,
$A_8=\frac{3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\frac{5\cdot 7}{4\cdot 6\cdot 8}{sin}^2\phi +\frac{7}{6\cdot 8}{sin}^4\phi +\frac{1}{8}{sin}^6\phi$,
а $K$ находится по формуле 773 или из таблиц.

776. $F\left(\phi ,k\right)=\phi +\frac{1}{2}{v}_2{k}^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}{v}_4{k}^4+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}{v}_6{k}^6+\dots$,

где

$v_{2n}=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}{sin}^{2n}\phi d\phi$.

777. $E\left(\phi ,k\right)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }d\phi =\frac{2\phi }{\mathrm{\pi }}E+sin\phi cos\phi \left(\frac{1}{2}{A}_2{k}^2+\frac{1}{2\cdot 4}{A}_4{k}^4+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}{A}_6{k}^6+\dots \right)$,

где $A_2,A_4,\dots$ те же, что и в формуле 775, а $E$ может быть получено из формулы 774 или из таблиц.

780.1. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+{k^{\prime }}^2{x}^2}}={tn}^{\mathrm{-1}}\left(x,k\right)=F\left(arctgx,k\right)$,

$x>0$.

^* Здесь через ${tn}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)$ обозначена функция, обратная $tnx$ (область изменения от $0$ до $K$).

781.01. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2}}=\frac{1}{a}{sn}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{x}{b},\frac{b}{a}\right)=\frac{1}{a}F\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsin\frac{x}{b}$, $k=\frac{b}{a}$, $0<x<b<a$.

$x>0$.

^* Здесь через ${sn}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)$ обозначена функция, обратная $snx$ (область изменения от $0$ до $K$).

781.02. $\underset{b}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{x^2-b^2}}=\frac{1}{a}\left\{K\left(k\right)-F\left(\phi ,k\right)\right\}$,

$\phi =arcsin\left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-b^2}}\right)$, $k=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$, $0<b<x<a$.

$\left(k\right)=F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2},k\right)$ — полный эллиптический интеграл. Как обычно, интеграл от $x_1$ до $x_2$ получается как разность интегралов от $b$ до $x_2$ и от $b$ до $x_1$.

781.03. $\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}\sqrt{x^2-b^2}}=\frac{1}{a}\left\{K\left(k\right)-F\left(\phi ,k\right)\right\}$,

$\phi =arcsin\left(a⁄x\right)$, $k=b⁄a$, $0<b<a<x$.

781.04. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{b^2+x^2}}=\frac{1}{a}{tn}^{\mathrm{-1}}\left\{\frac{x}{b},\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right\}=\frac{1}{a}F\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arctg\frac{b}{x}$, $k=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$, $0<b<a$, $0<x$.

^* Здесь через ${tn}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)$ обозначена функция, обратная $tnx$.

781.05. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{b^2-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\left\{K\left(k\right)-F\left(\phi ,k\right)\right\}$,

$\phi =arccos\frac{x}{b}$, $k=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $0<x<b$.

781.06. $\underset{b}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{x^2-b^2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}F\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arccos\frac{b}{x}$, $k=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $0<b<x$, $0<a$.

781.11. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2}}=aF\left(\phi ,k\right)-aE\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsinx⁄b$, $k=b⁄a$, $0<x<b<a$.

781.12. $\underset{b}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{x^2-b^2}}=aE\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2},k\right)-aE\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsin\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a^2-b^2}}$, $k=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$, $0<b<x<a$.

781.13. $\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^2-a^2}\sqrt{x^2-b^2}}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}\sqrt{x^2-b^2}}{x}+aK\left(k\right)-aF\left(\phi ,k\right)-aE\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2},k\right)+aE\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsin\frac{a}{x}$, $k=\frac{b}{a}$, $0<b<a<x$.

781.14. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{b^2+x^2}}=\frac{x\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{b^2+x^2}}-aE\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arctg\frac{x}{b}$, $k=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$, $0<x$, $0<b<a$.

781.15. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{b^2-x^2}}=\sqrt{a^2+b^2}\left[E\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2},k\right)-E\left(\phi ,k\right)\right]-\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\left[K\left(k\right)-F\left(\phi ,k\right)\right]$,

$\phi =arccos\frac{x}{b}$, $k=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $0<x<b$.

781.16. $\underset{b}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{x^2-b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{x^2-b^2}}{x}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}F\left(\phi ,k\right)-\sqrt{a^2+b^2}E\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arccos\frac{b}{x}$, $k=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $0<b<x$, $0<a$.

781.21. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{b^2-x^2}}dx=aE\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsin\frac{x}{b}$, $k=\frac{b}{a}$, $0<x<b<a$.

781.22. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{b^2-x^2}}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=aE\left(\phi ,k\right)-\frac{a^2-b^2}{a}F\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsin\frac{x}{b}$, $k=\frac{b}{a}$, $0<x<b<a$.

781.23. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{b^2+x^2}}dx=\frac{x\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{b^2+x^2}}+aF\left(\phi ,k\right)-aE\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arctg\frac{x}{b}$, $k=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$, $0<x$, $0<b<a$.

781.24. $\underset{b}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{x^2-b^2}}dx=\frac{\sqrt{a^2+x^2}\sqrt{x^2-b^2}}{x}+\sqrt{a^2+b^2}\left\{F\left(\phi ,k\right)-E\left(\phi ,k\right)\right\}$,

$\phi =arccos\frac{b}{x}$, $k=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $0<b<x$, $0<a$.

781.51. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{4}dx}{\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2}}=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2}}{3}+\frac{\left(2+k^2\right)b^3}{3k^2}F\left(\phi ,k\right)-\frac{2\left(1+k^2\right)b^3}{3k^2}E\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsin\frac{x}{b}$, $k=\frac{b}{a}$.

781.61. $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2}dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{b^2-x^2}}{3}+\left(\frac{b^3}{3k}+\frac{2b^3}{3k^3}-a^3\right)F\left(\phi ,k\right)+\left(a^3+a{b}^2-\frac{2b^3}{3k}-\frac{2b^3}{3k^3}\right)E\left(\phi ,k\right)$,

$\phi =arcsin\frac{x}{b}$, $k=\frac{b}{a}$.

782.01. $\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{{sin}^2\phi d\phi }{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\underset{0}{\overset{u}{\int }}{sn}^{2}udu=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2{x}^2}}=\frac{1}{k^2}\left\{F\left(\phi ,k\right)-E\left(\phi ,k\right)\right\}$,

$x=sin\phi$.

782.02. $\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{{cos}^2\phi d\phi }{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\underset{0}{\overset{u}{\int }}{cn}^{2}udu=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-k^2{x}^2}}dx=\frac{E\left(\phi ,k\right)}{k^2}-\frac{1-k^2}{k^2}F\left(\phi ,k\right)$,

$x=sin\phi$.

782.03. $\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{{tg}^2\phi d\phi }{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\underset{0}{\overset{u}{\int }}{tn}^{2}udu=\frac{tg\phi }{1-k^2}\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }-\frac{E\left(\phi ,k\right)}{1-k^2}$.

782.04. $\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{{cos}^2\phi \sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}=\frac{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}{1-k^2}tg\phi +F\left(\phi ,k\right)-\frac{E\left(\phi ,k\right)}{1-k^2}$.

782.05. $\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }}{{cos}^2\phi }d\phi =tg\phi \sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }+F\left(\phi ,k\right)-E\left(\phi ,k\right)$.

782.06. $\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}{tg}^2\phi \sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }d\phi =tg\phi \sqrt{1-k^2{sin}^2\phi }+F\left(\phi ,k\right)-2E\left(\phi ,k\right)$.

785.1. $\int snudu=-\frac{1}{k}Arch\left(\frac{dnu}{k^{\prime }}\right)$.

785.2. $\int cnudu=\frac{1}{k}arccos\left(dnu\right)$.

785.3. $\int dnudu=arcsin\left(snu\right)=amu$.

786.1. $\int \frac{du}{snu}=ln\left(\frac{snu}{cnu+dnu}\right)$.

786.2. $\int \frac{du}{cnu}=\frac{1}{k^{\prime }}ln\left(\frac{k^{\prime }snu+dnu}{cnu}\right)$.

786.3. $\int \frac{du}{dnu}=\frac{1}{k^{\prime }}arctg\left(\frac{k^{\prime }snu-cnu}{k^{\prime }snu+cnu}\right)$.

787.1. $\underset{0}{\overset{u}{\int }}{sn}^{2}udu=\frac{1}{k^2}\left\{u-E\left(amu,k\right)\right\}$.

787.2. $\underset{0}{\overset{u}{\int }}{cn}^{2}udu=\frac{1}{k^2}\left\{E\left(amu,k\right)-{k^{\prime }}^{2}u\right\}$.

787.3. $\underset{0}{\overset{u}{\int }}{dn}^{2}udu=E\left(amu,k\right)$.

787.4. $\underset{0}{\overset{u}{\int }}{tn}^{2}udu=\frac{1}{{k^{\prime }}^2}\left\{dnutnu-E\left(amu,k\right)\right\}$.

788.1. $\int {sn}^{\mathrm{-1}}xdx=x{sn}^{\mathrm{-1}}x+\frac{1}{k}ch\left[\frac{\sqrt{1-k^2{x}^2}}{k^{\prime }}\right]$.

^* Здесь через ${sn}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)$ обозначена функция, обратная $snx$.

788.2. $\int {cn}^{\mathrm{-1}}xdx=x{cn}^{\mathrm{-1}}x-\frac{1}{k}arccos\sqrt{{k^{\prime }}^2+k^2{x}^2}$.

^* Здесь через ${cn}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)$ обозначена функция, обратная $cnx$.

788.3. $\int {dn}^{\mathrm{-1}}xdx=x{dn}^{\mathrm{-1}}x-arcsin\left[\frac{\sqrt{1-x^2}}{k}\right]$.

^* Здесь через ${dn}^{\mathrm{-1}}\left(x\right)$ обозначена функция, обратная $dnx$.

789.1. $\frac{\partial F}{\partial k}=\frac{1}{k}\left(E-K\right)$.

789.2. $\frac{\partial K}{\partial k}=\frac{1}{k}\left(\frac{E}{{k^{\prime }}^2}-K\right)$.